Lewin, W. (1999, Fall). “MIT 8.01x – Physics I: Classical mechanics”. Massachusetts Institute of Technology.

cours phsyique note-ébauche

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Introduction

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• Exercices

La mécanique newtonienne est le coeur de ce cours, qui introduit aussi aussi la mécanique des fluides et la théorie cinétique des gazs.

Il existe une version mathématiquement plus demandante de ce cours : MIT 8.012.

1. Puissance de 10, unités, dimensions, incertitudes, arguments d’échelle

1.1 Ordres de grandeur

La physique étudie les plus petites choses (par ex. une fraction de proton) aux plus grandes (l’univers entier), sur une estimation actuelle de 45 ordres de grandeurs (puissances de 10).

Voir le mini-documentaire Powers of Ten (1977) qui figurait à son époque 40 ordres de grandeur.¹

1.2 Mesures et grandeurs physiques

1.2.1 Grandeurs fondamentales

Grandeurs	Symboles	Unités de mesure standards du SI (Système International)
Longueur	$L$	mètre ($\mathrm{m}$)
Masse	$M$	kilogramme ($\mathrm{kg}$)
Temps	$T$	secondes ($\mathrm{s}$)

(ndlr.) On peut employer des unités non standards (par ex. centimètre, pouces, etc.), mais au risque de commettre des erreurs de (non-)conversions d’unités en s’appuyant sur les travaux d’autres chercheurs, ingénieurs, etc.

1.2.2 Grandeurs dérivées

Les autres grandeurs physiques existantes sont dérivées de ces grandeurs fondamentales et sont in fine exprimables par celles-ci.

Lorsque l’on traite d’une grandeur non pas en la valeur de sa mesure, mais en son rapport aux grandeurs fondamentales, on parle alors de dimension exprimée entre crochets : $[\mathrm{grandeur}]$.

Ex :

• dimension d’un volume : $[\text{volume}]=[L{]}^3$
• dimension d’une densité : $[\text{densiteˊ}=\frac{[M]}{[\text{volume}]}=\frac{[M]}{[L{]}^3}=[M]\cdot [L{]}^{-3}$
• dimension d’une vitesse : $[\text{vitesse}]=\frac{[L]}{[T]}=[L]\cdot [T{]}^{-1}$
• dimension d’une accélération : $[\text{acceˊleˊration}]=\frac{[\text{vitesse}]}{[T]}=\frac{[L]\cdot [T{]}^{-1}}{[T]}=[L]\cdot [T{]}^{-2}$

1.3 Incertitudes de mesure

Attention

Puisque on ne peut pas mesurer quelque chose avec une précision parfaite, une mesure qui n’est pas accompagnée de la valeur de son incertitude (sa précision) est dénuée de sens — elle ne permet pas de se représenter la mesure ou de vérifier des prédictions empiriques.

Ex. :

Si la mesure d’un objet céleste est estimée à $20\mathrm{km}$ de long, le sens de cette mesure et son utilité pour faire des prédictions changera considérablement selon que la précision de cette mesure soit de $1\mathrm{cm}$ ou de $\pm 100\mathrm{km}$.

1.4 Tests expérimentaux

Principe

Lorsqu’on émet une hypothèse, et que l’on se base sur cette hypothèse pour faire une prédiction, on doit alors tester expérimentalement cette prédiction pour confirmer/infirmer le bien-fondé de cette hypothèse.

• (ndlr. En philosophie des sciences on parle de confirmation/infirmation plutôt que de vérification, car le vérificationnisme a été abandonné du fait du problèmes philosophique de l’induction.)²

Ex. :

Lewin rapporte l’hypothèse de sa grand mère selon laquelle un Homme est plus grand allongé (d’au moins quelques cm) que debout, et souhaite tester la prédiction qu’un élève sera mesuré plus grand lorsqu’il sera allongé.

Lewin cherche d’abord à montrer que ses incertitudes de mesures seront correctes, en mesurant une barre en métal en position verticale puis horizontale, dont il fait la supposition raisonnable qu’elle ne devrait pas changer de taille.

• Barre à la verticale : $L=149.9\pm 0.1\mathrm{cm}$
• Barre à l’horizontale : $L=150.0\pm 0.1\mathrm{cm}$

Puisque les intervalles dus aux incertitudes, respectivement vertical [149.8 ; 150.0] et horizontal [149.9 ; 150.1] se chevauchent, on retrouve bien la même longueur.
Comme Lewin a déjà mesuré plusieurs fois cette barre par le passé en retrouvant à chaque fois ce chevauchement minimal sur ces intervalles déteterminés par une incertitude de $0.1\mathrm{cm}$, Lewin en conclut que l’incertitude de mesure de $0.1\mathrm{cm}$ est acceptable.

Lewin mesure ensuite un étudiant :

• Étudiant debout : $L=185.7\pm 0.1\mathrm{cm}$
• Étudiant allongé : $L=183.2\pm 0.1\mathrm{cm}$

Soit une différence de $2.5\pm 0.2\mathrm{cm}$, confirmant l’hypothèse de sa grand-mère.

Attention

Attention aux différentes règles mathématiques de calcul (de propagation) des incertitudes selon qu’elles s’ajoutent, se soustraient, se multiplient, se divisent, etc.

1.5 Argument d’échelle

Principe

Un argument d’échelle consiste à émettre des hypothèses sur la façon dont les grandeurs d’un système physique varient selon des lois de puissance (mathématique), et d’en inférer des équations permettant des prédictions expérimentalement testables sur les variations relatives — changements d’échelle — de ces grandeurs.

Rappel mathématique

Proportionnalité

Les variables $x$ et $y$ sont proportionnelles si elles varient selon un ratio constant — si leur rapport est constant :

$$\begin{array}{rl}& \frac{x}{y}=k(k\text{constante},y\ne 0)\\ \iff & x=k\cdot y\end{array}$$

On note « $x$ proportionnel à $y$ » :

$$x\propto y$$

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Loi de puissance

Une loi de puissance est une relation de proportionnalité entre une variable $x$, et une variable $y$ élevée à une puissance $\alpha$ :

$$x=k\cdot y^{\alpha }(k\text{et}\alpha \text{constantes},y\ne 0)$$

Notation :

$$x\propto y^{\alpha }$$

• La proportionalité entre $x$ et $y$ est donc un cas particulier de loi de puissance où $\alpha =1$.

Ex :

Lewin expose une hypothèse de Galilée selon laquelle les animaux ont une taille limitée car ils ne pourraient avoir de fémur supportant leur poids à partir d’une certaine taille.

Lewin considère le cas idéalisé d’un animal de forme cubique ou sphérique.

Principe

Une idéalisation consiste en une simplification de la représentation d’un système physique, afin d’en facilité le traitemement théorique et mathématique, et d’arriver à un résultat satisfaisant quoiqu’approximatif.

• largeur : $S$
• masse : $m$
• longueur de fémur : l
• diamètre de fémur : d
• surface de la coupe transversale de fémur : $A$

Lewin avance un argument d’échelle en éméttant les hypothèses suivantes :

1. la longueur du fémur est proportionnelle à la largeur de l’animal (qui est égale à sa largeur pour l’animal idéalisé de forme cubico-sphérique) taille de l’animal :

   $$l\propto S$$

2. la masse de l’animal (idéalisé de forme cubico-sphérique) varie selon son volume ($S^3$ s’il s’agit d’un cube ; $\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot S^3$ s’il s’agit d’une sphère) et est donc proportionnelle à sa largeur au cube, et par (1) est aussi proportionnelle à la longueur du fémur au cube :

   $$m\propto S^3\propto l^3$$

3. la pression $\text{pression}=\frac{\text{Force}}{\text{surface}}$ exercée par le poids (qui est une force) sur la surface de coupe du fémur est proportionnelle à la masse de l’animal divisée par la surface de coupe. Or, $\text{Poids}\propto m$ (car $\text{Poids}=m\cdot g$ avec $g$ constante gravitationnelle terrestre) et $A\propto d^2$ (car $A=d^2$ si la surface est carrée ; $A=\pi \cdot d^2$ si la surface est circulaire), donc la pression est aussi proportionnelle à la masse de l’animal par le diamère du fémur au carré :

   $$\frac{\text{Poids}}{A}\propto \frac{m}{d^2}$$

4. hypothèse du point de rupture : si la pression sur le fémur augmente trop, il casse.
   Pour que la pression n’augmente pas, le poids doit rester proportionnel à la surface de coupe du fémur, et par (4) la masse de l’animal doit rester proportionnelle au diamètre du fémur au carré.

   $$m\propto d^2$$

5. Par (2) et (4) :

   $$d^2\propto l^3$$

   D’où :

   $$\boxed{d\propto l^{\frac{3}{2}}}$$

   Ce qui revient à l’équation $d=k\cdot l^{\frac{3}{2}}$ avec $k$ constante inconnue.

Du fait de cette constante inconnue, connaître $l$ ne permet pas prédire $d$ ; mais connaître la variation relative — le changement d’échelle — de $l$ permet de prédire la variation relative de $d$.

Confusion

Les équations produites par un argument d’échelle ne permettent pas de prédire les grandeurs d’un système ; elles permettent juste de prédire leurs variations relatives — leurs changements d’échelle.

Par exemple :

• si $l’$ est 10 fois plus grand que $l$, c’est-à-dire $l^{\prime }=10l$, alors :

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{\prime }}{d}& =\frac{k\cdot (10l{)}^{\frac{3}{2}}}{k\cdot l^{\frac{3}{2}}}=\frac{k\cdot 10^{\frac{3}{2}}\cdot l^{\frac{3}{2}}}{k\cdot l^{\frac{3}{2}}}=10^{\frac{3}{2}}\\ \iff d^{\prime }& =10^{\frac{3}{2}}d\approx 31.6d\end{array}$$

• si $l’$ est 100 fois plus grand que $l$,
  alors $d’=100^{\frac{3}{2}}d=1000d$

Si cette prédiction s’avèrerait correcte, alors $d$ croitrait plus vite que $l$ et, à partir d’une certaine taille d’animal, le fémur deviendrait aussi long que large et ne serait donc plus viable, ce qui confirmerait alors l’hypothèse de Galilée.

Enfin, Lewin teste expérimentalement cette prédiction de changements d’échelle de $d$ qui devrait suivre le changement d’échelle de $l$ selon la realtion $d\propto l^{\frac{3}{2}}$, en mesurant la longueur et le diamètre des fémurs d’animaux de différentes tailles.

En se basant sur la relation $d\propto l^{\frac{3}{2}}$, on pourrait vérifier la prédiction en traçant une courbe avec $l$ en abcisses et $d$ en ordonnées, et en vérifiant que les différents diamètres suivent bien (aux incertitudes près qui sont représentées graphiquement par des barres) une courbe de puissance $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$.

Mais il est plus commode de se baser sur la relation $\frac{d}{l}\propto l^{\frac{1}{2}}$ ($\iff d\propto l^{\frac{3}{2}}$) et de vérifier la prédiction en traçant une courbe avec $\frac{d}{l}$ en ordonnées, car on peut là encore vérifier que les différents rapport $\frac{d}{l}$ suivent bien une courbe de puissance $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$, mais cela permet aussi d’infirmer aisément la prédiction les différents rapports ne suivent pas une courbe strictement croissante.

Le graphique montre que les rapports ne suivent pas une courbe strictement croissante, ce qui infirme donc l’hypothèse de Galilée.

1.6 Analyse dimensionnelle

Principe

Une analyse dimensionnelle consiste à analyser les dimensions d’une équation physique afin d’en vérifier l’homogénéité dimensionnelle — une équation physique est incohérente si ses deux membres n’ont pas la même dimension —, ou d’essayer de déterminer la valeur des exposants inconnus de l’équation.

• (ndlr.) Dans des cours plus avancés on apprendra que l’analyse dimensionnelle permet de préciser encore une équation par le théorème de Buckingham : « si l’on a $n$ variables et $k$ dimensions fondamentales, on peut toujours réduire le problème à une relation entre $n-k$ nombres sans dimension ».

Ex :

Lewin se demande comment varie la durée d’une chute de pomme sur le sol lorsqu’on augmente la hauteur de chute.

Il avance un argument d’échelle en émettant l’hypothèse suivante :

La durée de chute $t$ varie est proportionnelle à la hauteur de la pomme à une puissance inconnue ($h^{\alpha }$), à la masse de la pomme à une puissance inconnue ($m^{\beta }$), et à l’accélération gravitationnelle terrestre à une puissance inconnue ($g^{\gamma }$) — cette fois, il est précautionneux et ne présuppose pas de la valeur des exposants.

$$t\propto h^{\alpha }\cdot m^{\beta }\cdot g^{\gamma }$$

Il effectue ensuite une analyse dimensionnelle :

$$[T]=[L{]}^{\alpha }\cdot [M{]}^{\beta }\cdot \frac{[L{]}^{\gamma }}{[T{]}^2\gamma }$$

Et en déduit :
$\beta =0$
$\alpha +\gamma =0$
$1=-2\gamma$

D’où :
$\beta =0$
$\gamma =-\frac{1}{2}$
$\alpha =\frac{1}{2}$

Ce qui donne l’équation :

$$t=k\cdot \sqrt{\frac{h}{g}}$$

Or, $g$ est une constante, donc :

$$t=\frac{k}{\sqrt{g}}\cdot \sqrt{h}=\boxed{k^{\prime }\cdot \sqrt{h}}$$

Comme dans l’expérimentation précédente, l’argument d’échelle ne permet pas de prédire $t$ du fait de la constante inconne $k’$, mais elle permet de prédire sa variation relative $\frac{t’}{t}$ après changement d’échelle de $h$.

Par exemple, si l’on fait tomber la pomme de 4 fois plus haut, la durée de chute devrait être $\sqrt{4}=2$ fois plus longue.

Lewin teste expérimentalement une prédiction avec deux dispositif d’hauteurs différentes qui chronomètrent précisément la chute d’un objet : le chronomètre démarre lorsque l’objet est relâché, et s’arrête lorsque l’objet touche un capteur sensible au sol.

• $h_1=3.000\pm 0.003\mathrm{m}$
• $h_2=1.500\pm 0.003\mathrm{m}$

Lewin veut donc tester la prédiction suivante :

$$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}=\sqrt{2.000\pm 0.006}=1.414\pm 0.002$$

Résutlat de l’expérimentations :

• $t_1=0.781\pm 0.002\mathrm{s}$
• $t_2=0.551\pm 0.002\mathrm{s}$

Ce qui donne $\frac{t_1}{t_2}=1.417\pm 0.008$, qui rentre bien dans l’intervalle d’incertitude de la prédiction et la confirme.

Il est remarquable d’avoir pu montrer que la durée de chute d’un objet ne dépend pas de sa masse — cela illustre bien la puissance de l’analyse dimensionnelle.

Mais l’analyse dimensionnelle a aussi ses limites, en ce que son succès est tributaire de nos intuitions préalables. Par exemple, si l’on avait plutôt émis l’hypothèse :

$$t\propto h^{\alpha }\cdot m_{\text{objet}}^{\beta }\cdot m_{\text{terre}}^{\gamma }$$

Son analyse dimensionnelle $[T]=[L{]}^{\alpha }\cdot [M{]}^{\beta }\cdot [M{]}^{\gamma }$ aurait montré $\alpha =0$ et $\beta +\gamma =0$, et n’aurait donc pas conduit à une équation permettant des prédictions testables.

2. Cinématique sur 1 dimension : vitesse scalaire, vitesse vectorielle, accélération

On étudie ici les mouvements sur 1 dimension le long d’une ligne droite — mouvements rectilignes.

2.1 Vitesse

2.1.1 Vitesse scalaire moyenne

Définition

La vitesse scalaire moyenne (speed) d’un objet entre les instants $t_{\text{initial}}$ et $t_{\text{final}}$, est le rapport de la distance totale $d$ qu’il a parcourue entre ces instants, sur l’intervalle de temps $\Delta t$ écoulé entre ces instants.

$${\bar{v}}_{t_i{t}_f}=\frac{\text{distance totale parcourue}}{t_f-t_i}=\frac{d}{\Delta t}$$

Une vitesse scalaire moyenne ne peut jamais être négative, car une distance est un scalaire et n’a donc pas d’orientation et de sens négatif.

La vitesse scalaire moyenne est invariante au changement de repère (que l’on a choisi arbitrairement) par translation ou rotation — en l’occurrence pour les mouvements rectilignes, à l’inversion à du sens positif de $x$.

2.1.1.1 Interprétation géométrique

Ex : Mouvement sur 1 dimension.

2.1.2 Vitesse vectorielle moyenne

Définition

La vitesse vectorielle moyenne (velocity) d’un objet entre les instants $t_{\text{initial}}$ et $t_{\text{final}}$, est le rapport du changement de position $\Delta x$ (composante $x$ du vecteur déplacement) de l’objet, de sa position à $t_{\text{initial}}$ à sa position à $t_{\text{final}}$ ; sur l’intervalle de temps $\Delta t$ écoulé entre ces instants.

$${\overline{\stackrel{⃗}{v}}}_{t_i{t}_f}=\frac{x(t_f)-x(t_i)}{t_f-t_i}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

Une vitesse vectorielle moyenne peut être négative, car un déplacement est un vecteur et peut donc avoir une orientation négative, traduite par une composante $x$ négative.

Attention

La vitesse vectorielle moyenne est invariante au changement de repère (que l’on a choisi arbitrairement) par translation, mais sensible au changement de repère par rotation — en l’occurrence pour les mouvements rectilignes, à l’inversion du sens positif de $x$.

2.1.2.1 Interprétation géométrique

Ici, la vitesse vectorielle moyenne de $t_1$ à $t_4$ est très inférieure à la vitesse scalaire moyenne.

On peut aussi évoquer le cas de la vitesse vectorielle moyenne de $t_1$ à $t_5$ qui est nulle, car l’objet ne change pas de position de sa position à $x(t_1)$ à sa position à $x(t_5)$ ; alors que la vitesse scalaire moyenne est grande, car l’objet parcourt une grande distance en faisant l’allé $x(t_1)$ à $x(t_3)$ et le retour $x(t_3)$ à $x(t_5)$.

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Une courbe représentant $x(t)$ donne la position d’un objet à n’importe quel moment.

Géométriquement, la vitesse vectorielle moyenne est la pente (angle $\alpha$) de la droite sécante à la courbe en $t_i$ et $t_f$ :

• pente positive → vitesse vectorielle moyenne positive
• pente négative → vitesse vectorielle moyenne négative.
• pente nulle → vitesse vectorielle moyenne nulle.

Ici, la vitesse vectorielle moyenne ${\overline{\stackrel{⃗}{v}}}_{t_2{t}_3}$ est la pente $\alpha$ de la droite sécante (rouge) à la courbe en $t_2$ et $t_3$.

2.1.3 Vitesse instantanée

Définition

La vitesse (vectorielle) instantanée d’un objet à l’instant $t$ est la limite, quand l’intervalle de temps infinitésimal $\Delta t$ tend vers $0$, du rapport de changement de position (composante $x$ du vecteur déplacement) de l’objet, de sa position à $t$ à sa position à $t+\Delta t$ infinitésimalement proche ; sur l’intervalle de temps infinitésimal $\Delta t$.

$${\vec{v}}_t=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

• Infinitésimal au sens mathématique de tendant vers 0 : se rapprochant autant que possible de 0 mais non nul.
  

2.1.3.1 Interprétation géométrique

Géométriquement, la vitesse instantanée ${\vec{v}}_t$ est la pente de la droite tangente à la courbe à $t$.

Le point en $t_2$ étant fixe, on remarque que lorsque $\Delta t$ diminue en tendant vers $0$, le second point ($t_2+\Delta t$) d’intersection de la droite sécante (grise) à la courbe se rapproche du premier ($t_2$) ; et cette droite s’approche donc de la tangente à la courbe en $t_2$.

Ici, la vitesse instantanée ${\vec{v}}_{t_2}$ est la pente de la droite (rouge) tangente à la courbe en $t2$.

3. Vecteurs

4. The Motion of Projectiles

5. Uniform Circular Motion

6. Newton’s First, Second, and Third Laws

7. Weight, Perceived Gravity, and Weightlessnes

8. Frictional Forces

9. Review of Lectures 1 through 5

Footnotes

1. Eames, C., Eames, R. (1977). Powers of Ten. IBM. ↩

2. Barberousse, A. et al. (2011). Précis de philosophie des sciences. Vuibert. ↩