Wildberger, N. J. (2011-2020). “Elementary Mathematics (K-6) Explained”. The University of New South Wale.

MOOC mathématiques cours note-ébauche

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Introduction

Parti pris d’employer plutôt des exemples tirés des mathématiques, et non d’objets du quotidien comme cela se fait dans la plupart des manuels, car les exemples mathématiques sont souvent plus informatifs et intéressants. TODO-développer TODO-reformuler

1. Dénombrement à l’aide du plan quadrillé

D

Déf. mathématiques : « sens commun, usage précis du langage et raisonnement logique, appliqués à l’étude des régularités (patterns) abstraites et à la résolution de problèmes ».

L’étude des régularités abstraites correspond plutôt à l’aspect théorique et pur des mathématiques, tandis que la résolution de problèmes correspond à son aspect appliqué.

Les deux branches les plus importantes et fondamentales des mathématiques sont l’arithmétique et la géométrie.

1.1 Plan quadrillé (cartésien)

Plutôt que de commencer par la géométrie euclidienne (Euclide, 300 av. J.-C.) basée sur une page vide, nous allons démarrer par la géométrie cartésienne (Descartes & Fermat, 1600) qui révolutionna la géométrie en se basant sur une page possédant une structure — un plan quadrillé (grid plane).

Définitions

Déf. plan quadrillé : « lignes droites horizontales et verticales également espacées ».

Définition

Déf. points (nœuds) : « intersections des lignes (là où elles se rencontrent) ».

Définition

Déf. carrés unitaires (cellules) : « plus petites subdivisions du plan par des lignes ».

Définition

Déf. segments unitaires (barres) : « plus petites subdivisions des lignes par d’autres lignes ».

On remarque que l’on discute d’emblée du sens des mots.
Dans la vie quotidienne, on emploie souvent des mots définis approximativement, qui suffisent dans la plupart des contextes (par ex. un chien est un « animal à quatre pattes avec un museau et qui aboie »), mais qui de ce fait conduisent parfois à certains ambiguïtés (par ex. un loup satisfait à la définition précédente alors qu’il n’est pas un chien). Par contre les mathématiques, elles, nécessitent des définitions précises et une terminologie qui reste cohérente.

Toutefois, l’on y trouve aussi beaucoup de conventions implicites. Explicitons-en ici quelques unes afin de lever des ambiguïtés :

• le plan quadrillé est extensible (autant que nécessaire) sans limites dans les 4 directions,
• les lignes sont parallèles (ne se rencontrent jamais si on les étend) ou perpendiculaires,
• L’épaisseur des lignes et des points est négligeable et est représentée de façon très mince,
• les barres incluent les 2 points à leurs extrémités,
• les cellules incluent leurs 4 côtés (barres), et donc aussi leur 4 coins (points),
• horizontal signifie orienté sur l’axe gauche-droite ; vertical signifie orienté sur l’axe haut-bas,
• la couleur des lignes n’est pas pertinente,
• la taille des cellules n’a pas à être la même d’un plan cartésien à l’autre — elle n’est pas pertinente — : si l’on transpose une même figure géométrique d’un plan cartésien à un autre ayant une échelle différente, elle aura alors un apparence visuelle différente, mais demeurera mathématiquement parlant la même chose.
• etc.

Il n’est pas évident de définir la perpendicularité. Par exemple, Euclide en proposa la définition suivante :

« Lorsqu’une droite tombant sur une autre droite fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles est dit droit ; et la droite qui tombe sur l’autre en formant des angles droits est appelée perpendiculaire. »
— Euclide, Éléments, Livre I, Définition 10 (300 av. J.-C.)

En revanche, on peut donner plusieurs exemples permettant de comprendre facilement l’idée : le coin d’une feuille A4 est perpendiculaire, la jonction de la lettre « T » est perpendiculaire, etc.

1.2 Segments et rectangles

Définition

Déf. segment : « partie d’une ligne entre 2 points, incluant ces 2 extrémités (points) ».

Définition

Déf. rectangle : « subdivision du plan par 2 lignes horizontales et 2 lignes verticales, incluant ses 4 côtés (segments) et 4 coins (points).

1.3 Notations

Conventions de nommage pour distinguer différents objets d’un même type :

• points : $A$, $B$, $C$, …
• lignes : $l$, $m$, $n$, …
• segments : $s$, $r$, $t$, …
• rectangles : $X$, $Y$, $Z$, …

On caractérise :

• une ligne par 2 points lui appartenant, par exemple $m=AC=CA=AD=DA=CD=DC$
• un segment par ses extrémités (points), par exemple $s=\overline{AB}=\overline{BA}$
• un rectangle par :
  - ses 4 coins dans un ordre adjacent, par exemple $X=\overline{CDEF}=\overline{FEDC}$
  - ou 2 de ses segments perpendiculaires, par exemple $X=\overline{rt}=\overline{tr}=\overline{tu}=\overline{ut}=\overline{uv}=\overline{vu}=\overline{vr}=\overline{rv}$

1.4 Longueur et aire

Définition

Déf. La longueur d’un segment $s$ est le nombre de segments unitaires qu’il contient.

• notée $|s|$

Définition

Déf. L’aire d’un rectangle $X$ est le nombre de carrés unitaires qu’il contient.

• notée $|X|$

Définition

Déf. La dimension d’un rectangle $X$ est le nombre $m$ de rangées et et $n$ de colonnes qu’il contient.

• notée $\text{dim}(X)=m\times n$
• ou $\text{dim}(X)=(m,n)$ pour ne pas confondre avec l’opération de multiplication.

Exemples :

Longueur de segments :

• $|s|=3$
• $|t|=1$
• $|r|=5$

Dimensions et aires de rectangles

• $\text{dim}(X)=(3,1)$ ou $3\times 1$ et $|X|=3$
• $\text{dim}(Y)=(2,4)$ ou $2\times 4$ et $|Y|=8$
• $\text{dim}(Z)=(1,5)$ ou $1\times 5$ et $|Z|=5$

Astuce

On peut aussi déterminer l’aire d’un rectangle de dimension $m\times n$ en calculant le produit (résultat de la multiplication) de ses dimensions $m$ et $n$, car cela revient à compter le nombre de carrés unitaires qu’il contient.

1.5 Dénombrement

1.5.1 Basique

Exercice 1.1 – Dénombrement de points

W : 24 points.

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Régularité

Il y a $a\cdot b$ cellules dans les rectangles de dimension $a\times b$.
On remarque qu’il y a $(a+1)\cdot (b+1)$ points dans les rectangles.

Dans le rectangle W de $5\times 3$ il y a donc $(5+1)\cdot (3+1)=6\cdot 4=24$ points

Exercice 1.2 – Dénombrement de sous-rectangles

W : 8 sous-rectangles de $2\times 2$.

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Régularité

On remarque qu’il y a $(a-1)\cdot (b-1)$ sous-rectangles $2\times 2$ dans le rectangle.

Dans le rectangle W de $5\times 3$ il y a donc $(5-1)\cdot (3-1)=4\cdot 2=8$ sous-rectangles $2\times 2$.

1.5.2 Chemins

Exercice 1.3 – Dénombrement de chemins

W : 15 chemins.

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Régularité

Si $a$ ou $b$ est égal à $1$, il n’y a qu’un chemin :

$$\text{chem}(1,b)=\text{chem}(a,1)=1$$

Si $a$ ou $b$ est égal à $2$ et que l’autre est supérieur à 1, alors il y a autant de chemins que l’autre :

$$\begin{array}{rl}& \text{chem}(2,b)=b(\text{avec }b>1)\\ & \text{chem}(a,2)=a(\text{avec }a>1)\end{array}$$

En comptant le nombre de chemins dans les rectangles de tailles croissantes :

	b = 3	b = 4	b = 5
a = 2	$3$	$4$	$5$
a = 3	$3+3=6$	$4+6=10$	$5+10=15$
a = 4	$6+4=10$	$10+10=20$	$15+20=35$

On remarque que :

$$\text{chem}(a,b)=\text{chem}(a-1,b)+\text{chem}(a,b-1)$$

Dans le rectangle $W$ de $5\times 3$, il a donc :

$$\begin{array}{rl}\text{chem}(5,3)& =\text{chem}(4,3)+\text{chem}(5,2)\\ & =(\text{chem}(3,3)+\text{chem}(4,2))+5\\ & =(\text{chem}(2,3)+\text{chem}(3,2))+4+5\\ & =3+3+9\\ & =15\end{array}$$

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Solution plus élégante :

Grok 4.3 Expert

Argument combinatoire direct

Voici une version plus précise, étape par étape, de l’interprétation combinatoire qui permet de passer directement de la géométrie du problème à la formule fermée, sans passer par la récurrence.

1. Que doit-on faire concrètement pour aller du départ à l’arrivée ?

On considère une grille avec :

• a lignes de carrés (cellules),
• b colonnes de carrés.

On part du carré inférieur gauche et on veut arriver au carré supérieur droit, en ne se déplaçant que d’une case vers le haut ou vers la droite.

Pour y parvenir :

• Il faut monter de la ligne du bas jusqu’à la ligne du haut.
  → On doit donc effectuer exactement (a − 1) déplacements vers le haut.
  (Chaque déplacement vers le haut fait passer d’une ligne à la ligne supérieure.)

• Il faut aller à droite de la colonne de gauche jusqu’à la colonne de droite.
  → On doit donc effectuer exactement (b − 1) déplacements vers la droite.

Important :

• On ne peut jamais descendre ni aller à gauche (règle du problème).
• On ne peut pas non plus « sauter » des lignes ou des colonnes.
• Donc tout chemin valide est constitué uniquement de ces deux types de déplacements, et exactement dans ces quantités : (a−1) « H » et (b−1) « D ».

Le nombre total de déplacements dans chaque chemin est donc toujours :

$$(a-1)+(b-1)=a+b-2$$

2. Une fois qu’on sait cela, que fait-on ?

On abandonne temporairement la géométrie de la grille.

Le problème se réduit maintenant à une question purement combinatoire (de comptage de suites) :

Combien existe-t-il de séquences différentes de longueur ( a + b - 2 ),
qui contiennent exactement (a−1) lettres « H » (haut)
et exactement (b−1) lettres « D » (droite) ?

C’est tout.
Chaque séquence différente correspondra à un ordre différent d’exécution des déplacements, donc à un chemin différent sur la grille.

3. Comment compter ces séquences ?

On a :

• Un total de N = a + b − 2 positions dans la séquence (comme des cases vides à remplir).
• On doit placer exactement k = a − 1 lettres « H » dans ces positions.
• Les positions restantes seront automatiquement remplies par des « D ».

Le nombre de façons de choisir k positions parmi N est donné par le coefficient binomial :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b-2}{a-1}\right)$$

C’est la définition même du coefficient binomial :

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)$ = nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de N éléments, sans tenir compte de l’ordre.

Chaque choix différent des positions des « H » donne une séquence unique, donc un chemin unique.

4. Exemple concret (pour bien voir)

Prenons un petit rectangle : a = 3 lignes, b = 2 colonnes.

• Nombre de « H » nécessaires : 3−1 = 2
• Nombre de « D » nécessaires : 2−1 = 1
• Longueur totale des séquences : 2 + 1 = 3

On cherche toutes les séquences de 3 lettres contenant exactement 2 « H » et 1 « D ».

Les possibilités sont :

Séquence	Chemin correspondant	Valide ?
H H D	Haut → Haut → Droite	Oui
H D H	Haut → Droite → Haut	Oui
D H H	Droite → Haut → Haut	Oui

Il y en a exactement 3.

Et la formule donne :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3+2-2}{3-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$$

Parfaitement d’accord.

Autre exemple rapide : pour le rectangle W (5 × 3) dont tu parlais,

• (5−1) = 4 « H »
• (3−1) = 2 « D »
• Total : 6 déplacements
• Formule : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)=15$ (ou $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$)

5. Pourquoi cet argument est-il complet et rigoureux ?

• Exhaustivité : Tout chemin possible sur la grille correspond à une telle séquence (parce qu’on ne fait que des H et des D, et on en fait exactement le bon nombre).
• Injectivité : Deux séquences différentes donnent deux ordres différents de déplacements → deux chemins différents.
• Surjectivité : Toute séquence de (a−1) H et (b−1) D peut être réalisée sur la grille sans jamais sortir des limites (car on ne fait jamais de mouvement interdit, et la grille est rectangulaire sans obstacles).
• Donc il y a une bijection parfaite entre les chemins et ces séquences.

C’est pour cela que le nombre de chemins est exactement égal au coefficient binomial.

6. Lien avec la récurrence que tu avais

La récurrence

$$\text{chem}(a,b)=\text{chem}(a-1,b)+\text{chem}(a,b-1)$$

vient du fait que le dernier déplacement d’un chemin est soit un « H » (alors le chemin vient de la grille (a−1)×b), soit un « D » (il vient de la grille a×(b−1)).

L’interprétation combinatoire explique pourquoi cette somme donne précisément le binomial : c’est l’identité de Pascal qui traduit le fait qu’on peut classer les séquences selon leur dernière lettre.

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En résumé ultra-clair :

Une fois qu’on a établi qu’il faut exactement (a−1) « H » et (b−1) « D »,
le problème devient :
« Combien de façons y a-t-il d’ordonner ces déplacements ? »
→ C’est un problème de choix de positions → coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b-2}{a-1}\right)$.

1.5.3 Pavage

Exercice 1.4 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangle

Z : Dans un rectangle $3\times 4$, on peut faire 11 pavages.

Exercice 1.5 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangle amputé

W : Dans un rectangle $5\times 3$, on ne peut faire aucun pavage de dominos car il contient un nombre impair de carrés unitaires ($3\cdot 5=15$), alors qu’un pavage de dominos nécessite un multiple de $2$.

W* : Dans ce rectangle $5\times 3$ amputé du coin inférieur-droit, on peut faire 15 pavages.

Exercice 1.6 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangles $2\times n$

• $2\times 1$ → $1$
• $2\times 2$ → $2$
• $2\times 3$ → $3$
• $2\times 4$ → $5$
• $2\times 5$ → $8$
• $2\times 6$ → $13$
• $2\times 7$ → $21$

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Régularité

A partir de de $2\times 3$, on remarque que le nombre pavages est la somme des deux précédents, et suit donc la suite de Fibonacci :

Pour $n\ge 3$ :

$$\text{pav}(2,n)=\text{pav}(2,n-1)+\text{pav}(2,n-2)$$

2. Arithmétique avec les rectangles

2.1 Arithmétique

Ce cours combine les deux sujets fondamentaux des mathématiques : l’arithmétique et la géométrie.

Maîtriser l’arithmétique garantit le succès en mathématiques élémentaires.

Définition

Déf. arithmétique : « étude des nombres et des opérations sur eux ».

Il y a différents types de nombres de complexités croissantes :

• nombres entiers naturels (natural numbers) : $1,2,3,\dots$
• nombres entiers relatifs (integers) : $-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$
• fractions : $\frac{1}{2},\frac{13}{5},\dots$
• nombres décimaux (decimals) : $12.41,\dots$

Les entiers naturels sont ceux avec lesquels on compte :

$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,\dots$$

Il s’agit du système de numération indo-arabe (800-1100 av. J-.C.) qui est probablement l‘avancée scientifique la plus importante du monde moderne. Ce système facilite grandement la manipulation de grands nombres et les calculs arithmétiques complexes qui sont laborieux dans les autres systèmes de numération :

Il y a différentes opérations :

• $+$ addition
• $-$ soustraction (opération inverse de l’addition)
• $\times$ multiplication
• $÷$ division (opération inverse de la multiplication)
• ^ exponentiation

L’addition et la multiplication sont les opérations les plus fondamentales et importantes de l’arithmétique.

Nous allons aborder les nombres entiers naturels ainsi que ces deux opérations avec un point de vue primitif et naturel (comme à la préhistoire ou à l’école maternelle), de manière géométrique.

2.2 Nombres entiers naturels

Définiton générale

Un nombre entier naturel est une chaîne d’objets identiques — une chaîne de uns.

• qu’il s’agisse de traits sur un morceau de bois, de cailloux, de carrés, etc.
• un objet seul (par ex. $|$) est aussi considéré comme une chaîne de uns.
• à l’oral, dans le système de numération unaire :
• pour le nombre $|$ on dit : « un »,
• pour le nombre $||$ on dit : « un, un »,
• pour le nombre $|||$ on dit : « un, un, un »,
• etc.

Il est particulièrement commode d’employer des chaînes de carrés, car visuellement on distingue mieux les différentes tailles de chaînes, et que cela permet de mettre en rapport l’arithmétique et la géométrie dans un repère cartésien (plan quadrillé). Dans ce cours, nous emploierons donc la définition suivante :

Définition spécifique

Déf. Un nombre entier naturel est un rectangle-rangée.

• une cellule seule $☐$ est aussi considérée comme un rectangle-rangée (nombre « un »).

Important

C’est avec le système de numération unaire (rectangles-rangée) que les enfants devraient apprendre les bases de l’arithmétique. Il n’est pas important qu’ils apprennnent les symboles indo-arabes au début et, s’ils sont enseignés trop tôt, ils risquent même de penser que les symboles indo-arabes sont fondamentalement les nombres, alors qu’ils ne sont qu’une façon compacte et commode de désigner les nombres qui sont fondamentalement conçus comme des chaînes d’objets identiques — c’est l’aspect essentiel des nombres entiers naturels.

2.3 Compter (dénombrer)

Principe

Pour compter le nombre d’objets dans une collection, à chaque objet on associe une cellule, puis on juxtapose (met bout à bout) les cellules pour former un rectangle-rangée.

On note $|X|$ la taille de la collection X.

Exemple ci-dessus :

$|X|$ = ☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐

On dit : « un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un ».

2.4 Comparaisons

On peut comparer la taille de nombres de manière informelle en percevant immédiatement qu’un rectangle-rangée est beaucoup plus grande que l’autre ; mais quand ce n’est pas évident, il faut employer une méthode systématique rigoureuse qui consiste à avancer cellule par cellule en faisant correspondre à chaque fois une cellule de l’un à une cellule de l’autre.

Il y a trois (☐☐☐) relations de comparaison possibles entre deux (☐☐) nombres :

Définition

• $a=b$ « $a$ égal $b$ »
• $a>b$ « $a$ supérieur à $b$ »
• $a<b$ « $a$ inférieur à $b$ »

A noter que la taille de la représentation d’un nombre n’est pas pertinente (ex. : ☐☐☐ $=$ □□□).

2.5 Opérations

2.5.1 Addition

Définition

L’opération d’addition $a+b$ consiste à juxtaposer (mettre bout à bout) deux nombres pour n’en former qu’un.

• on peut additioner plus de deux nombres de la même manière.

2.5.2 Multiplication

Définition

L’opération de multiplication $a\times b$ (on dit : « $a$ fois $b$ ») consiste à :

• former un rectangle de dimension $a\times b$ et compter ses celulles,

ou (de manière équivalente) :

• additionner $a$ termes égaux à $b$ (ce qui revient à additionner les rangées d’un rectangle de dimension $a\times b$).

Exemple :

Exercice 2.1 – Vérifiez les équations suivantes :

Il faut résoudre ces exercices en n’employant que les définitions données d’un nombre entier naturel et des opérations d’addition et de multiplication — il ne faut pas employer le système numéraire indo-arabe puisqu’on n’est pas censé le connaître à ce stade du cours.

Équation correcte.

Exercice 2.1 – Vérifiez les équations suivantes :

Équation correcte.

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**Exercice 2.2 :
**

Équation correcte.

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Exercice 2.3 :

Équation correcte.

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Exercice 2.4 :

Équation correcte.

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**Exercice 2.5 :
**

Équation correcte.

En faisant ces exercices, on se rend compte que la représentation naturelle (système de numération unaire) des nombres entiers naturels rend laborieux la représentation de grands nombres et les calculs avec ceux-ci, du fait de chaînes de uns de plus en plus longues.

Les autres systèmes de numération tels que le système indo-arabe sont des notations raccourcies qui permettent de manipuler les grands nombres avec beaucoup plus d’efficience et de faciliter les opérations complexes.

3. Systèmes de numération à travers l’histoire

Nombre de civilisations ont fait face à ce même problème de l’inefficience du système de représentation unaire pour manipuler les grands nombres, alors qu’il s’agit d’un enjeu important pour gérer les stocks d’agriculture, anticiper les saisons, pour le commerce et, de manière générale, pour la vie dans une cité développée.

3.1 Avantages et inconvénients

Plusieurs systèmes ont été crées qui, chacun, rendent la représentation des grands nombres plus compacte et efficiente, mais les opérations sur ceux-ci plus difficiles, voire très difficiles.

Prenons par exemple un système de numération romain simplifié où :

• $☐=I$
• $IIIII=V$ (groupement intuitif lié au nombre de doigts d’une main)

Dans ce système, l’addition est relativement intuitive,

Exercices – Calculer les additions suivantes

$VVVII+VVIII=VVVVVIIIII=VVVVVV$

Exercice 3.2

$VVVVVIII+VIIII=VVVVVVIIIIIII=VVVVVVVII$

Exercice 3.3

$VI+VII+VIII+VIIII=VVVVIIIIIIIIII=VVVVVV$

Mais il n’est pas évident de multiplier $VI\times VII$ pour obtenir directement le produit $VVVVVVVVII$ sans passer par une étape intermédiaire de représentation unaire.

3.2 Système de numération romain

3.3 Système de numération égyptien

Les égyptiens avaient même un symbôles pour les fractions, mais avec $1$ en numérateur (ce qu’on appelle parfois encore aujourd’hui fraction égyptienne).

3.4 Système de numération chinois

Le système chinois a davantage de points communs avec le système indo-arabe, en ce qu’il possède un symbôle pour chaque chiffre de $1$ à $9$. Il combine aussi (verticalement) des symboles pour multiplifier des dizaines, centaines, etc.

Mais il ne s’agit toujours pas d’un système positionnel, où la position horizontale des symboles est déterminante.

3.5 Systèmes de numération grecs

Quoique les grecs étaient de manière générale plus avancés que les autres sur le plan des mathématiques, les systèmes de numérations grecs n’étaient pas très développés.

Dans leur second système où l’on associe les différentes dizaines et centaines à différentes lettres de l’alphabet, on conçoit combien les multiplications devaient être difficiles à effectuer directement, sans conversion intermédiaire dans un système unaire, et accessibles uniquemement à une petite élite intellectuelle.

3.6 Système de numération babylonien

Le système babylonien, qui est le plus ancien, emploie un système intéressant différent des autres et qui nécessite d’autres notions mathématiques pour l’appréhender.
Nous reviendrons dessus plus tard.

4. Système de numération indo-arabe

Après avoir appris le système de numération unaire (rectangles-rangée), il vaut mieux enseigner aux enfants le système de numération romain simplifié, qui est une transition facilitant l’apprentissage du système de numération indo-arabe.

4.1 Système de numération romain simplifié

Le système de numération romain simplifié est un système décimal : chaque unité supérieure est égale à dix unités inférieures — lorsqu’on a dix mêmes unités, on peut l’échanger avec une unité supérieure.

Définition

Système de numération romain simplifié

• $☐\equiv I$
• $IIIIIIIIII\equiv X$
• $XXXXXXXXXX\equiv C$
• $CCCCCCCCCC\equiv M$
• $MMMMMMMMMM\equiv T$

Exemple :
$MCCCCCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXXIIIIIIIIIII=MMCCCXXXXI$

Les opérations arithmétiques, notamment la multiplication, y sont plus difficiles :

Exercice 4.1 – Calculez en romain simplifié

Calculez sans employer le système indo-arabe.

a. $XII+XXIIIII=XXXIIIIIII$

b. $CXII+CCCXIII=CCCCXXIIIII$

c. $III\times XII=XII+XII+XII=XXXIIIIII$

d.

$$\begin{array}{rl}XI\times XIII& =XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII+XIII\\ & =XXXXXXXXXXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII\\ & =CXXXXIII\end{array}$$

e. $CXXI\times CCXI$

Les nombres sont trop grands et il est donc trop laborieuxieux de faire simplement l’addition de chaque termes égaux à $CCXI$ comme dans (d).

Lorsqu’on fait différentes multiplications dans le système unaire en formant des rectangles pour les calculer, on se rend compte géométriquement que l’on peut décomposer une multiplication en addition de plus petites multiplications, par ex. : $XI\times III=(X\times III)+(I\times III)$. Ainsi :

$$\begin{array}{rl}CXXI\times CCXI& =(C+XXI)\times (C+CXI)\\ & =(C\times C)+(C\times CXI)+(XXI\times C)+(XXI\times CXI)\\ & =T+C\times (C+XI)+MMC+(XXI\times (C+XI))\\ & =T+(C\times C)+(C\times XI)+MMC+(XXI\times C)+(XXI\times XI)\\ & =T+T+MC+MMC+MMC+CCXXXI\\ & =TTMMMMMCCCCCXXXI\end{array}$$

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Exercice 4.3

a. $(XII+XIII)+XIIII=XXIIIII+XIIII=XXXIIIIIIIII$

b. $MCXI+MMCCCXXXXIIIII=MMMCCCCXXXXXIIIIII$

c. $IIII\times XXI=XXI+XXI+XXI+XXI=XXXXXXXXIIII$

d. $CI\times XI=(C+I)\times (XI)=(C\times XI)+(I\times XI)=MC+XI=MCXI$

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Exercice 4.4 – Trouvez le nombre mystère

a. $XXXIIIIII+?=XXXXX$

$?=XIIII$, car $IIIIII+XIIII=XX$

b. $CCCCXXXX+?=CCCCC$

$?=XXXXXX$, car $XXXX+XXXXXX=C$

c. $?+III=XX$

$?=XIIIIIII$, car $XIIIIIII+III=XX$

d. $?+XIIIIII=C$

$?=XXXXXXXXIIII$, car $XXXXXXXXIIII+XIIIIII=C$

4.2 Abaque

Important

L’abaque, un outil ayant été employé par la plupart des civilisations avant les calculatrices et toujours employé dans l’enseignement en Asie, est bien supérieur à la calculatrice pour apprendre l’arithmétique et, en l’espèce, les systèmes décimaux tels que le système romain simplifié ou indo-arabe.

4.3 Système de numération indo-arabe

Définition

Le système de numération indo-arabe est :

• un système décimal : basé sur des puissances de $10$ ;
• dans lequel chaque chiffre de $☐$ à $☐☐☐☐☐☐☐☐☐$ possède son propre symbôle, auxquels auquel on ajouter le symbôle $0$ (« zéro ») pour désigner rien :
  • $0$ (« zéro)
  • $☐\equiv 1$ (« un »)
  • $☐☐\equiv 2$ (« deux »)
  • $☐☐☐\equiv 3$ (« trois »)
  • $☐☐☐☐\equiv 4$ (« quatre »)
  • $☐☐☐☐☐\equiv 5$ (« cinq »)
  • $☐☐☐☐☐☐\equiv 6$ (« six »)
  • $☐☐☐☐☐☐☐\equiv 7$ (« sept »)
  • $☐☐☐☐☐☐☐☐\equiv 8$ (« huit »)
  • $☐☐☐☐☐☐☐☐☐\equiv 9$ (« neuf »)
• un système positionnel : la position de chaque chiffre est déterminante et correspond à différentes puissances de $10$ :
  • le premier chiffre en partant de la droite correspond aux unités,
  • le deuxième chiffre en partant de la droite correspond aux dizaines ($10$ unités),
  • le troisième chiffre en partant de la droite correspond aux centaines ($10$ dizaines),
  • le quatrième chiffre en partant de la droite correspond aux milliers ($10$ centaines),
  • etc.

Exemples :

Dans le second exemple ci-dessous, on remarque que le $0$ (désignant ici zéro centaine), quoiqu’il désigne l’absence de quelque chose, doit être noté et sa position est déterminante :

Par convention, dans le monde anglo-saxon on peut mettre une virgule tous les trois chiffres à partir de la droite pour faciliter la lecture des grands nombres (ex. : $25,017$). En France, la convention est plutôt d’employer un point (ex.: $25.017$).

Exercvice 4.5 – Convertir ces nombres dans le système indo-arabe

a. $MMCCCCII=2,402$

b. $TTMMXXXIII=22,303$

c. $MXII=1012$

d.

$$\begin{array}{rl}MCXII+XXXXXXXXIIIIIIIII& =MCXXXXXXXXXIIIIIIIIIII\\ & =MCXXXXXXXXXXI\\ & =MCCI\\ & =1201\end{array}$$

e.

$$\begin{array}{rl}XI\times XII& =XII+XII+XII+XII+XII+XII+XII+XII+XII+XII+XII\\ & =XXXXXXXXXXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII\\ & =CXXXII\\ & =132\end{array}$$

5. Lois de l’arithmétique en utilisant la géométrie

5.1 Transformations dans le repère cartésien

On peut effectuer différentes transformations géométriques le repère cartésien.

5.1.1 Translations

Définition

Une translation simple est un déplacement d’un objet géométrique (point, segment, rectangle, etc.) d’une unité dans un des quatre sens.

• $t_g$ : déplacement d’une unité vers la gauche
• $t_d$ : déplacement d’une unité vers la droite
• $t_h$ : déplacement d’une unité vers le haut
• $t_b$ : déplacement d’une unité vers le bas

Une translation composite est une combinaison de translations simples, effectuées l’une après l’autre.

Exemple :
Translation composite $t_g{t}_b$ : déplacment d’une unité vers la gauche, puis d’une unité vers le bas.

5.1.2 Réflections (symétrie axiale)

Définition

Une réflexion consiste à interchanger les points d’un objet géométrique de part et d’autre d’un axe, comme s’il s’agissait d’un reflet dans un miroir.

Notons que le reflet par $r_l$ du rectangle $1\times 2$ situé entre les points $B$ et $B$’ est similaire au rectangle original, mais ses coins sont interchangés de part et d’autre de l’axe.

Exercice 5.1

La transformation $r_l{r}_m$ revient à un déplacement de 4 unités vers le bas.

---

Exercice 5.2

La transformation $r_l{r}_n$ revient une symétrie (ou rotation de 180°), non pas rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre $l$ et $n$.

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Exercice 5.3

La transformation $r_m{r}_l$ revient à un déplacement de 4 unités vers le haut.

On remarque que $r_m{r}_l$ (4 unités vers le haut) ne revient pas à $r_l{r}_m$ (4 unités vers le bas) :

Attention

Les réflexions par symétrie axiale ne sont pas commutatives.

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Exercice 5.4

La transformation $r_{n{r}_m}$ revient à une symétrie (ou rotation de 180°), non par rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre $n$ et $m$.

NOTE

On remarque que le transformation composée de deux réflexions axiales perpendiculaires semble revenir à une symétrie (ou rotation de 180°), non par rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre les deux axes.

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Exercice 5.5

La transformation $r_l{r}_n{r}_m$ revient à $r_n$ puis 4 unités vers le bas, c’est-à-dire à $r_n{r}_l{r}_m$.

On peut aussi effectuer des réflexions avec des axes qui ne sont pas des lignes de la grille :

Exercice 5.6

[!NOTE]

On remarque que si $l$ est un axe diagonal et m est un axe horizontal, les transformations $r_l{r}_m$ et $r_m{r}_l$ reviennent à une rotation de 90°, respectivement dans le sens horaire et anti-horaire, par rapport au point d’intersection entre $l$ et $m$.

5.2 Commutativité de l’addition

NOTE

L’addition est commutative :
$a+b=b+a$
Cela s’explique géométriquement car, si l’on distingue visuellement les cellules provenant de $a$ de celles provenant de $b$, le rectangle-rangée formé par $b+a$ est le reflet par symétrie verticale du rectangle-rangée formé par $a+b$.

Ex. :

5.3 Commutativité de la multiplication

La commutativité de la multiplication n’est pas évidente lorsqu’on emploie pour la multiplication l’interprétation de l’addition de $a$ termes égaux à $b$.

Exemple :
$2\times 5=5\times 2$
$☐☐☐☐☐+☐☐☐☐☐=☐☐+☐☐+☐☐+☐☐+☐☐$

Mais elle le devient lorsqu’on emploie l’interprétation du rectangle de dimension $a\times b$ :

NOTE

La multiplication est commutative :
$a\times b=b\times a$
Cela s’explique géométriquement, car le rectangle formé par $b\times a$ est le reflet par symétrie diagonale du rectangle formé par $a\times b$.

Ex. :
$3\times 4=4\times 3$