Lewin, W. (1999, Fall). “MIT 8.01x — Physics I: Classical mechanics”. Massachusetts Institute of Technology.

cours phsyique note-ébauche

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Introduction

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• Exercices

La mécanique newtonienne est le coeur de ce cours, qui introduit aussi aussi la mécanique des fluides et la théorie cinétique des gazs.

Il existe une version mathématiquement plus demandante de ce cours : MIT 8.012.

1. Puissance de 10, unités, dimensions, incertitudes, arguments d’échelle

Ordres de grandeur

La physique étudie les plus petites choses (par ex. une fraction de proton) aux plus grandes (l’univers entier), sur une estimation actuelle de 45 ordres de grandeurs (puissances de 10).

Voir le mini-documentaire Powers of Ten (1977) qui figurait à son époque 40 ordres de grandeur.¹

Mesures et grandeurs physiques

Grandeurs fondamentales

Grandeurs	Symboles	Unités de mesure standards du SI (Système International)
Longueur	$L$	mètre ($\text{pu}m$)
Masse	$M$	kilogramme ($\text{pu}kg$)
Temps	$T$	secondes ($\text{pu}s$)

(ndlr.) On peut employer des unités non standards (par ex. centimètre, pouces, etc.), mais au risque de commettre des erreurs de (non-)conversions d’unités en s’appuyant sur les travaux d’autres chercheurs, ingénieurs, etc.

Grandeurs dérivées

Les autres grandeurs physiques existantes sont dérivées de ces grandeurs fondamentales et sont in fine exprimables par celles-ci.

Lorsque l’on traite d’une grandeur non pas en la valeur de sa mesure, mais en son rapport aux grandeurs fondamentales, on parle alors de dimension exprimée entre crochets : $[\text{pu}grandeur]$.

Ex :

• dimension d’un volume : $[\text{volume}]=[L{]}^3$
• dimension d’une densité : $[\text{densiteˊ}=\frac{[M]}{[\text{volume}]}=\frac{[M]}{[L{]}^3}=[M]\cdot [L{]}^{-3}$
• dimension d’une vitesse : $[\text{vitesse}]=\frac{[L]}{[T]}=[L]\cdot [T{]}^{-1}$
• dimension d’une accélération : $[\text{acceˊleˊration}]=\frac{[\text{vitesse}]}{[T]}=\frac{[L]\cdot [T{]}^{-1}}{[T]}=[L]\cdot [T{]}^{-2}$

Incertitudes de mesure

Attention

Puisque on ne peut pas mesurer quelque chose avec une précision parfaite, une mesure qui n’est pas accompagnée de la valeur de son incertitude (sa précision) est dénuée de sens — elle ne permet pas de se représenter la mesure ou de vérifier des prédictions empiriques.

Ex. :

Si la mesure d’un objet céleste est estimée à $\text{pu}20km$ de long, le sens de cette mesure et son utilité pour faire des prédictions changera considérablement selon que la précision de cette mesure soit de $\text{pu}1cm$ ou de $\pm \text{pu}100km$.

Tests expérimentaux

Principe

Lorsqu’on émet une hypothèse, et que l’on se base sur cette hypothèse pour faire une prédiction, on doit alors tester expérimentalement cette prédiction pour confirmer/infirmer le bien-fondé de cette hypothèse.

• (ndlr. En philosophie des sciences on parle de confirmation/infirmation plutôt que de vérification, car le vérificationnisme a été abandonné du fait du problèmes philosophique de l’induction.)²

Ex. :

Lewin rapporte l’hypothèse de sa grand mère selon laquelle un Homme est plus grand allongé (d’au moins quelques cm) que debout, et souhaite tester la prédiction qu’un élève sera mesuré plus grand lorsqu’il sera allongé.

Lewin cherche d’abord à montrer que ses incertitudes de mesures seront correctes, en mesurant une barre en métal en position verticale puis horizontale, dont il fait la supposition raisonnable qu’elle ne devrait pas changer de taille.

• Barre à la verticale : $L=149.9\pm \text{pu}0.1cm$
• Barre à l’horizontale : $L=150.0\pm \text{pu}0.1cm$

Puisque les intervalles dus aux incertitudes, respectivement vertical [149.8 ; 150.0] et horizontal [149.9 ; 150.1] se chevauchent, on retrouve bien la même longueur.
Comme Lewin a déjà mesuré plusieurs fois cette barre par le passé en retrouvant à chaque fois ce chevauchement minimal sur ces intervalles déteterminés par une incertitude de $\text{pu}0.1cm$, Lewin en conclut que l’incertitude de mesure de $\text{pu}0.1cm$ est acceptable.

Lewin mesure ensuite un étudiant :

• Étudiant debout : $L=185.7\pm \text{pu}0.1cm$
• Étudiant allongé : $L=183.2\pm \text{pu}0.1cm$

Soit une différence de $2.5\pm \text{pu}0.2cm$, confirmant l’hypothèse de sa grand-mère.

Attention

Attention aux différentes règles mathématiques de calcul (de propagation) des incertitudes selon qu’elles s’ajoutent, se soustraient, se multiplient, se divisent, etc.

Arguments d’échelle

Principe

Un argument d’échelle consiste à émettre des hypothèses sur la façon dont les grandeurs d’un système physique varient selon des lois de puissance (mathématique), et d’en inférer des équations permettant des prédictions expérimentalement testables sur les variations relatives — changements d’échelle — de ces grandeurs.

Rappel mathématique

Proportionnalité

Les variables $x$ et $y$ sont proportionnelles si elles varient selon un ratio constant — si leur rapport est constant :

$$\begin{array}{rl}& \frac{x}{y}=k(k\text{constante},y\ne 0)\\ \iff & x=k\cdot y\end{array}$$

On note « $x$ proportionnel à $y$ » :
$x\propto y$

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Loi de puissance

Une loi de puissance est une relation de proportionnalité entre une variable $x$, et une variable $y$ élevée à une puissance $\alpha$ :
$x=k\cdot y^{\alpha }(k\text{et}\alpha \text{constantes},y\ne 0)$

Notation :
$x\propto y^{\alpha }$

• La proportionalité entre $x$ et $y$ est donc un cas particulier de loi de puissance où $\alpha =1$.

Ex :

Lewin expose une hypothèse de Galilée selon laquelle les animaux ont une taille limitée car ils ne pourraient avoir de fémur supportant leur poids à partir d’une certaine taille.

Lewin considère le cas idéalisé d’un animal de forme cubique ou sphérique.

Principe

Une idéalisation consiste en une simplification de la représentation d’un système physique, afin d’en facilité le traitemement théorique et mathématique, et d’arriver à un résultat satisfaisant quoiqu’approximatif.

• largeur : $S$
• masse : $m$
• longueur de fémur : l
• diamètre de fémur : d
• surface de la coupe transversale de fémur : $A$

Lewin avance un argument d’échelle en éméttant les hypothèses suivantes :

1. la longueur du fémur est proportionnelle à la largeur de l’animal (qui est égale à sa largeur pour l’animal idéalisé de forme cubico-sphérique) taille de l’animal :
   $l\propto S$

2. la masse de l’animal (idéalisé de forme cubico-sphérique) varie selon son volume ($S^3$ s’il s’agit d’un cube ; $\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot S^3$ s’il s’agit d’une sphère) et est donc proportionnelle à sa largeur au cube, et par (1) est aussi proportionnelle à la longueur du fémur au cube :
   $m\propto S^3\propto l^3$

3. la pression $\text{pression}=\frac{\text{Force}}{\text{surface}}$ exercée par le poids (qui est une force) sur la surface de coupe du fémur est proportionnelle à la masse de l’animal divisée par la surface de coupe. Or, $\text{Poids}\propto m$ (car $\text{Poids}=m\cdot g$ avec $g$ constante gravitationnelle terrestre) et $A\propto d^2$ (car $A=d^2$ si la surface est carrée ; $A=\pi \cdot d^2$ si la surface est circulaire), donc la pression est aussi proportionnelle à la masse de l’animal par le diamère du fémur au carré :
   $\frac{\text{Poids}}{A}\propto \frac{m}{d^2}$

4. hypothèse du point de rupture : si la pression sur le fémur augmente trop, il casse.
   Pour que la pression n’augmente pas, le poids doit rester proportionnel à la surface de coupe du fémur, et par (4) la masse de l’animal doit rester proportionnelle au diamètre du fémur au carré.
   $m\propto d^2$

5. Par (2) et (4) :
   $d^2\propto l^3$
   D’où :
   $\boxed{d\propto l^{\frac{3}{2}}}$

   Ce qui revient à l’équation $d=k\cdot l^{\frac{3}{2}}$ avec $k$ constante inconnue.

Du fait de cette constante inconnue, connaître $l$ ne permet pas prédire $d$ ; mais connaître la variation relative — le changement d’échelle — de $l$ permet de prédire la variation relative de $d$.

Confusion

Les équations produites par un argument d’échelle ne permettent pas de prédire les grandeurs d’un système ; elles permettent juste de prédire leurs variations relatives — leurs changements d’échelle.

Par exemple :

• si $l’$ est 10 fois plus grand que $l$, c’est-à-dire $l^{\prime }=10l$,
  alors $d^{\prime }=k\cdot (10l{)}^{\frac{3}{2}}=k\cdot 10^{\frac{3}{2}}\cdot l^{\frac{3}{2}}=10^{\frac{3}{2}}\cdot (k\cdot l^{\frac{3}{2}})=10^{\frac{3}{2}}d\approx 31.6d$
• si $l’$ est 100 fois plus grand que $l$,
  alors $d’=100^{\frac{3}{2}}d=1000d$

Si cette prédiction s’avèrerait correcte, alors $d$ croitrait plus vite que $l$ et, à partir d’une certaine taille d’animal, le fémur deviendrait aussi long que large et ne serait donc plus viable, ce qui confirmerait alors l’hypothèse de Galilée.

Enfin, Lewin teste expérimentalement cette prédiction de changements d’échelle de $d$ qui devrait suivre le changement d’échelle de $l$ selon la realtion $d\propto l^{\frac{3}{2}}$, en mesurant la longueur et le diamètre des fémurs d’animaux de différentes tailles.

En se basant sur la relation $d\propto l^{\frac{3}{2}}$, on pourrait vérifier la prédiction en traçant une courbe avec $l$ en abcisses et $d$ en ordonnées, et en vérifiant que les différents diamètres suivent bien (aux incertitudes près qui sont représentées graphiquement par des barres) une courbe de puissance $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$.

Mais il est plus commode de se baser sur la relation $\frac{d}{l}\propto l^{\frac{1}{2}}$ ($\iff d\propto l^{\frac{3}{2}}$) et de vérifier la prédiction en traçant une courbe avec $\frac{d}{l}$ en ordonnées, car on peut là encore vérifier que les différents rapport $\frac{d}{l}$ suivent bien une courbe de puissance $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$, mais cela permet aussi d’infirmer aisément la prédiction les différents rapports ne suivent pas une courbe strictement croissante.

Le graphique montre que les rapports ne suivent pas une courbe strictement croissante, ce qui infirme donc l’hypothèse de Galilée.

Analyses dimensionnelles

2. Introduction à la cinématique

3. Vecteurs

4. The Motion of Projectiles

5. Uniform Circular Motion

6. Newton’s First, Second, and Third Laws

7. Weight, Perceived Gravity, and Weightlessnes

8. Frictional Forces

9. Review of Lectures 1 through 5

Footnotes

1. Eames, C., Eames, R. (1977). Powers of Ten. IBM. ↩

2. Barberousse, A. et al. (2011). Précis de philosophie des sciences. Vuibert. ↩